Uniswap 恒定乘积做市商原理详解

Uniswap 作为 DeFi 领域最具影响力的去中心化交易所（DEX），其核心创新在于自动做市商机制。本文将深入剖析其背后的数学原理。

什么是 AMM？

传统交易所采用订单簿模式，买卖双方挂单撮合。而 AMM 则使用数学公式自动计算交易价格，无需对手方即可完成交易。

Uniswap 采用的是恒定乘积做市商模型，其核心公式为：

其中：

• $x$：池中代币 A 的数量
• $y$：池中代币 B 的数量
• $k$：恒定乘积（流动性常数）

恒定乘积公式的几何意义

从 $x \cdot y = k$ 可以推导出 $y = \frac{k}{x}$，这是一条双曲线。

曲线上的每一个点代表池子的一个状态。交易发生时，池子状态沿着曲线移动，但始终满足 $x \cdot y = k$。

交易价格如何确定？

假设用户用 $\Delta x$ 个代币 A 购买代币 B，交易后：

解得用户获得的代币 B 数量：

价格滑点

AMM 的价格不是固定的，而是取决于交易规模。交易量越大，滑点越大：

图中横轴为输入代币数量，纵轴为输出代币数量。可以看到曲线逐渐平缓，说明大额交易的边际收益递减。

无常损失（Impermanent Loss）

流动性提供者面临的主要风险是无常损失。当池中代币价格相对外部市场发生变化时，LP 的资产价值可能低于单纯持有。

假设初始状态 $x_1 = y_1 = 100$，价格 $P_1 = 1$。若价格变为 $P_2 = 4$：

解得 $x_2 = 50, y_2 = 200$。

对比持有与提供流动性的价值：

无常损失 = $\frac{100}{125} - 1 = -20\%$

无常损失曲线

横轴为价格比率（新价格/初始价格），纵轴为无常损失百分比。价格偏离 1 越远，损失越大。

集中流动性（Uniswap v3）

Uniswap v3 引入了集中流动性概念，允许 LP 在指定价格区间内提供流动性：

这使得资金效率大幅提升，但也增加了无常损失风险。

总结

恒定乘积公式 $x \cdot y = k$ 看似简单，却蕴含了深刻的金融逻辑：

1. 自动定价：无需预言机，价格由池内资产比例决定
2. 无限流动性：任何价格点都有流动性，只是深度不同
3. 套利驱动平衡：价格偏离时套利者会将其拉回均衡

理解这一数学模型，是深入 DeFi 世界的关键一步。