Uniswap 恒定乘积做市商原理笔记

第一次接触 Uniswap 的时候，最让我好奇的就是：没有订单簿，没有做市商，价格到底是怎么定出来的？

后来才知道，答案出奇地简单——就一个公式： $x \cdot y = k$ 。

但这个看起来朴素的公式，背后有一整套精妙的金融逻辑。这篇笔记试着把其中的数学和直觉都理清楚。

AMM 到底是什么

传统的交易所用的是订单簿模式——买方挂买单，卖方挂卖单，价格匹配了才能成交。但 AMM 不一样，它用数学公式代替了订单簿，你不需要等对手方，直接跟池子做交易就行。

Uniswap 用的模型叫恒定乘积做市商，核心就是这个公式：

x \cdot y = k

$x$ ：池子里代币 A 的数量
$y$ ：池子里代币 B 的数量
$k$ ：乘积常数

交易前后， $k$ 值保持不变（暂时不考虑手续费）。也就是说，你往池子里塞进一些 A，就得拿走一些 B，但两者的乘积始终不变。

从几何角度看这个公式

把公式变形一下： $y = \frac{k}{x}$ 。这是一条双曲线。

曲线上的每个点都代表池子的一个可能状态。交易发生时，池子的状态沿着这条曲线滑动，但始终不离开曲线。

这个几何视角很重要，因为它帮你直观理解一件事：池子里某种代币越少，它就越贵。你看曲线左边， $x$ 很小的时候 $y$ 会急剧上升——这意味着要想从已经很稀少的 A 池子里再买走一些，你得付出大量的 B。

交易价格是怎么算出来的

假设你用 $\Delta x$ 个代币 A 去买代币 B。交易后池子里 A 变成 $x + \Delta x$ ，根据 $k$ 不变，B 就变成：

y_1 = \frac{k}{x + \Delta x} = \frac{x \cdot y}{x + \Delta x}

那你实际拿到的 B 就是原来的 $y$ 减去剩下的 $y_1$ ：

\Delta y = y - \frac{x \cdot y}{x + \Delta x}

滑点的本质

AMM 的价格不是固定的，它取决于你交易的规模。你买的越多，平均价格就越差——这就是滑点。

看这个图，曲线越来越平。这意味着什么？大额交易的边际收益在递减。你投入第一个 10 个 A 可能拿到 9 个 B，但再投入 10 个 A，可能就只拿到 7 个 B 了。

这就是为什么大额交易要拆分成多笔做，或者为什么要用聚合器走多个池子。

无常损失是怎么回事

提供流动性听起来不错——赚手续费嘛。但有个隐藏风险叫无常损失（Impermanent Loss）。

简单来说：如果你提供流动性时的代币价格和现在不一样了，那你池子里的资产价值可能还不如你当初直接拿着不动。

算个具体例子

假设你一开始往池子里放了等值的两种代币：

$x_1 = 100$ 个 A
$y_1 = 100$ 个 B
初始价格比率 $P_1 = 1$ （1 个 A = 1 个 B）

后来 A 的价格涨到了原来的 4 倍，也就是 $P_2 = 4$ 。根据 AMM 的机制：

\frac{y_2}{x_2} = 4, \quad x_2 \cdot y_2 = 10000

解出来 $x_2 = 50$ ， $y_2 = 200$ 。

对比一下两种策略的最终价值（以 A 计价）：

策略	代币 A	代币 B	总价值（以 A 计）
一直拿着不动	100	100（值 400 个 A）	500
提供流动性	50	200（值 50 个 A）	100

等一下，我重新算一下。持有策略的总价值应该是 100 个 A + 100 个 B（现在值 400 个 A 的购买力）。不对，让我换个方式理解。

以 A 为计价单位：

持有：100 个 A + 100 个 B。B 的价格涨到 4 倍，所以 100 个 B 值 400 个 A。总计 100 + 400 = 500 个 A 的购买力。不对，初始价格是 1:1，A 涨了 4 倍意味着 A 相对 B 涨了 4 倍。

让我换个更清晰的思路——假设初始价格 A = B = 1 美元。你放 100 个 A（100 美元）和 100 个 B（100 美元），总共 200 美元。

后来 A 的价格涨到 4 美元（B 还是 1 美元）：

拿着不动：100 × 4 + 100 × 1 = 500 美元
提供流动性：池子里剩 50 个 A + 200 个 B = 50 × 4 + 200 × 1 = 400 美元

无常损失 = $\frac{400}{500} - 1 = -20\%$

也就是说，你亏了 20%。当然，400 美元还是比你一开始的 200 美元多，只是少赚了。

无常损失曲线

横轴是价格比率（新价格除以初始价格），纵轴是亏损百分比。价格偏离初始值越远，损失越大。当价格比率是 1 的时候（没变），损失为零。

所以无常损失这个名字起得挺准确——只要价格还在变，损失就是"无常"的。只有在你撤出流动性的那一刻，损失才真正兑现。

集中流动性（Uniswap V3 的改进）

到了 V3，Unswap 想了个办法提高资金效率：集中流动性。

普通的 LP 需要在 0 到无穷大的全价格区间都提供流动性，但大部分价格可能根本不会去到那些区域。V3 允许你指定一个价格区间，只在区间内做市。

对应的公式也复杂了不少：

(x + \frac{L}{\sqrt{P_b}})(y + L \cdot \sqrt{P_a}) = L^2

这里 $L$ 是流动性单位， $P_a$ 和 $P_b$ 是价格区间的上下界。

这么改的好处是资金效率大幅提升——同样的钱，在窄区间里能提供更深的流动性。但代价是无常损失风险也更高了，因为价格一旦跑出你设定的区间，你的流动性就失效了。

为什么这个设计很精妙

$x \cdot y = k$ 看起来简单，但它同时解决了好几个问题：

自动定价——不需要预言机，价格由池子里的资产比例自然决定
永远有流动性——任何价格点都有报价，只是深度不同而已
套利自动修正——价格偏离外部市场时，套利者会把它拉回来

这个设计的优雅之处在于：它不需要任何人来做市，不需要任何人挂单，只要池子里有钱，交易就能发生。而做市商（LP）通过赚手续费获得回报，形成了一套自运转的生态。

理解了这个模型，再看 DeFi 里的各种创新——集中流动性、稳定币池、Ragequitable 池——其实都是在这个基础公式上做变体。

理解了 x·y=k，你就拿到了理解整个 AMM 世界的钥匙。